Równanie stycznej do wykresu y = cos 2x w punkcie o odciętej π/6

Styczna do wykresu w punkcie $x_0$ ma równanie $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Krok 1. Punkt styczności. $f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, więc styczna przechodzi przez punkt $\left( \frac{\pi}{6},\ \frac{1}{2} \right)$.

Krok 2. Pochodna. Funkcja złożona - cosinus i wewnętrzna $2x$:

$f'(x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x.$

Krok 3. Współczynnik kierunkowy.

$f'\left( \frac{\pi}{6} \right) = -2\sin\frac{\pi}{3} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}.$

Krok 4. Równanie stycznej.

$y = -\sqrt{3}\left( x - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{2} = -\sqrt{3}\,x + \frac{\sqrt{3}\,\pi}{6} + \frac{1}{2}.$

Wyraz wolny to w przybliżeniu $1{,}407$.

Typowy błąd: pochodna $-\sin 2x$ bez czynnika $2$ - wtedy wychodzi współczynnik $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ i prosta przecina wykres zamiast go dotykać.

Odpowiedź. $y = -\sqrt{3}\,x + \frac{\sqrt{3}\,\pi}{6} + \frac{1}{2}$.