Prostokąt wpisany w półkole o promieniu 6 o największym obwodzie - pochodna

Krok 1. Zmienna. Niech $O$ będzie środkiem średnicy, a $P$ - wierzchołkiem prostokąta na łuku. Oznaczmy przez $t$ kąt między średnicą a promieniem $OP$, $t \in \left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right)$.

Prostokąt jest symetryczny względem prostej prostopadłej do średnicy przez $O$, więc podstawa ma długość $2 \cdot 6\cos t = 12\cos t$, a wysokość $6\sin t$.

Krok 2. Funkcja. Obwód:

$L(t) = 2 \cdot 12\cos t + 2 \cdot 6\sin t = 24\cos t + 12\sin t.$

Krok 3. Pochodna i punkt krytyczny.

$L'(t) = -24\sin t + 12\cos t = 0 \iff 12\cos t = 24\sin t \iff \operatorname{tg} t = \frac{1}{2}.$

(Dzielimy przez $\cos t > 0$ - w przedziale $\left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right)$ cosinus nie jest zerem.)

Krok 4. Maksimum. Dla małych $t$ pochodna jest dodatnia ($L'(0) = 12$), a dla $t$ bliskich $\frac{\pi}{2}$ ujemna ($L'\left( \frac{\pi}{2} \right) = -24$). Pochodna maleje na całym przedziale (jest różnicą funkcji malejącej $12\cos t$ i rosnącej $24\sin t$), więc zmienia znak tylko raz - w punkcie $\operatorname{tg} t = \frac{1}{2}$ jest maksimum.

Krok 5. Wartości funkcji. Z $\operatorname{tg} t = \frac{1}{2}$ i jedynki trygonometrycznej (kąt ostry) dostajemy $\cos t = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin t = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Stąd

$L_{\max} = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{60}{\sqrt{5}} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83.$

Wymiary: podstawa $12 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{5}}{5} \approx 10{,}73$, wysokość $6 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68$.

Sprawdzenie. Prostokąt „płaski” ($t \to 0$) ma obwód dążący do $24$, a „wąski” ($t \to \frac{\pi}{2}$) - do $12$. Oba są mniejsze od $12\sqrt{5} \approx 26{,}83$.

Odpowiedź. Prostokąt o podstawie $\frac{24\sqrt{5}}{5}$ i wysokości $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ ma największy obwód, równy $12\sqrt{5}$.