Pochodna funkcji sin x / (1 + cos x) i jej wartość w punkcie π/3

Krok 1. Dziedzina. Mianownik $1 + \cos x$ jest zerem tylko dla $\cos x = -1$, czyli $x = \pi + 2k\pi$ - stąd podana dziedzina.

Krok 2. a) Pochodna ilorazu. Dla $u = \sin x$, $v = 1 + \cos x$ mamy $u' = \cos x$, $v' = -\sin x$:

$f'(x) = \frac{\cos x\,(1 + \cos x) - \sin x \cdot (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}.$

Krok 3. Jedynka trygonometryczna. $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, więc licznik to $\cos x + 1$ i skracamy (mianownik jest różny od zera):

$f'(x) = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}.$

Krok 4. b) Wartość w punkcie. $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, więc

$f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}.$

Ciekawostka. Ze wzorów na funkcje połowy kąta$\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$, a $\left( \operatorname{tg}\frac{x}{2} \right)' = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{1 + \cos x}$ - ten sam wynik drugą drogą.

Odpowiedź. a) $f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}$; b) $f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{2}{3}$.