Wadliwa żarówka - z której zmiany pochodzi? Prawdopodobieństwo całkowite i Bayes

Krok 1. Dane. $Z_1$ - zmiana poranna, $Z_2$ - popołudniowa, $W$ - żarówka wadliwa.

$P(Z_1) = 0{,}6, \quad P(Z_2) = 0{,}4, \qquad P(W \mid Z_1) = 0{,}01, \quad P(W \mid Z_2) = 0{,}04.$

Krok 2. Prawdopodobieństwo całkowite.

$P(W) = 0{,}6 \cdot 0{,}01 + 0{,}4 \cdot 0{,}04 = 0{,}006 + 0{,}016 = 0{,}022.$

Krok 3. Wzór Bayesa.

$P(Z_2 \mid W) = \frac{P(Z_2) \cdot P(W \mid Z_2)}{P(W)} = \frac{0{,}016}{0{,}022} = \frac{16}{22} = \frac{8}{11} \approx 0{,}727.$

Krok 4. Sprawdzenie na liczbach. Z $1000$ żarówek $600$ jest z rana ($6$ wadliwych), $400$ z popołudnia ($16$ wadliwych). Wadliwych jest $22$, w tym $16$ z popołudnia: $\tfrac{16}{22} = \tfrac{8}{11}$.

Pułapka. Odpowiedź $0{,}4$ (udział zmiany w produkcji) ignoruje informację, że żarówka jest wadliwa. Ta informacja przesuwa szansę mocno w stronę zmiany, która robi więcej braków.

Odpowiedź. $P(Z_2 \mid W) = \dfrac{8}{11} \approx 72{,}7\%$.