Dwie urny i moneta - prawdopodobieństwo całkowite wylosowania kuli białej

Krok 1. Rozbicie na przypadki. Doświadczenie ma dwa etapy: wybór urny i losowanie kuli. Zdarzenia $U_1$ - wybrano urnę I, $U_2$ - wybrano urnę II wykluczają się i razem dają całą przestrzeń $\Omega$ (to tak zwany układ zupełny). $P(U_1) = P(U_2) = \tfrac{1}{2}$.

Krok 2. Prawdopodobieństwa warunkowe. $B$ - wylosowano kulę białą.

$P(B \mid U_1) = \frac{3}{5}, \qquad P(B \mid U_2) = \frac{1}{5}.$

Krok 3. Drzewko. Na każdej gałęzi zapisujemy prawdopodobieństwo, a wynik dla końca gałęzi to iloczyn liczb na drodze od korzenia.

Krok 4. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Dodajemy gałęzie prowadzące do kuli białej:

$P(B) = P(U_1) \cdot P(B \mid U_1) + P(U_2) \cdot P(B \mid U_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5}.$

Pułapka. Zsypanie wszystkich kul do jednej urny daje $\tfrac{4}{10} = \tfrac{2}{5}$ - tutaj przypadkiem to samo, bo obie urny mają po $5$ kul. Gdy urny mają różną liczbę kul, ten skrót daje zły wynik, więc zawsze licz z drzewka.

Odpowiedź. $P(B) = \dfrac{2}{5}$.