Kostka wybiera urnę - prawdopodobieństwo całkowite przy różnych urnach

Krok 1. Układ zupełny. $U_1$ - losujemy z urny I (wypadło $1$ lub $2$), $U_2$ - z urny II (wypadło $3$, $4$, $5$ lub $6$):

$P(U_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad P(U_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Krok 2. Prawdopodobieństwa warunkowe. $B$ - kula biała:

$P(B \mid U_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \qquad P(B \mid U_2) = \frac{2}{7}.$

Krok 3. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

$P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{9} + \frac{4}{21} = \frac{14}{63} + \frac{12}{63} = \frac{26}{63}.$

Krok 4. Kontrola rozsądku. Wynik $\tfrac{26}{63} \approx 0{,}41$ leży między $\tfrac{2}{7} \approx 0{,}29$ (urna II) a $\tfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ (urna I) i bliżej urny II - tak ma być, bo urnę II wybieramy dwa razy częściej.

Pułapka. Zsypanie kul do jednej urny daje $\tfrac{6}{13} \approx 0{,}46$ - źle, bo pomija to, że urny są wybierane z różnym prawdopodobieństwem i mają różną liczbę kul.

Odpowiedź. $P(B) = \dfrac{26}{63} \approx 0{,}41$.