Trzy maszyny w fabryce - prawdopodobieństwo wylosowania wadliwego produktu

Krok 1. Dane. $W$ - śruba wadliwa. Maszyny tworzą układ zupełny:

$P(M_1) = 0{,}5, \quad P(M_2) = 0{,}3, \quad P(M_3) = 0{,}2; \qquad P(W \mid M_1) = 0{,}02, \quad P(W \mid M_2) = 0{,}03, \quad P(W \mid M_3) = 0{,}05.$

Krok 2. Punkt a) - prawdopodobieństwo całkowite.

$P(W) = 0{,}5 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}03 + 0{,}2 \cdot 0{,}05 = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029.$

Krok 3. Punkt b) - wzór Bayesa. Liczymy najpierw szansę gałęzi „$M_3$ i wadliwa”, a potem dzielimy przez prawdopodobieństwo całkowite:

$P(M_3 \mid W) = \frac{P(M_3) \cdot P(W \mid M_3)}{P(W)} = \frac{0{,}010}{0{,}029} = \frac{10}{29} \approx 0{,}345.$

Krok 4. Sprawdzenie na liczbach. Na $1000$ śrub: $500$ z $M_1$ (z tego $10$ wadliwych), $300$ z $M_2$ ($9$ wadliwych), $200$ z $M_3$ ($10$ wadliwych). Wadliwych jest $29$, z czego $10$ pochodzi z $M_3$.

Ciekawostka: $M_3$ robi najmniej śrub, a i tak odpowiada za tyle samo braków co $M_1$.

Odpowiedź. a) $P(W) = 0{,}029$; b) $P(M_3 \mid W) = \dfrac{10}{29} \approx 34{,}5\%$.