Przełożenie kuli z urny do urny - prawdopodobieństwo całkowite

Krok 1. Układ zupełny - co przełożyliśmy. $K_b$ - przełożono kulę białą, $K_c$ - czarną:

$P(K_b) = \frac{3}{4}, \qquad P(K_c) = \frac{1}{4}.$

Krok 2. Skład urny II w każdym przypadku. Po przełożeniu w urnie II jest $6$ kul. Jeśli przełożono białą: $3$ białe, $3$ czarne. Jeśli czarną: $2$ białe, $4$ czarne. $B$ - z urny II wylosowano kulę białą:

$P(B \mid K_b) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \qquad P(B \mid K_c) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

Krok 3. Punkt a) - prawdopodobieństwo całkowite.

$P(B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{8} + \frac{1}{12} = \frac{9}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}.$

Krok 4. Punkt b) - wzór Bayesa.

$P(K_b \mid B) = \frac{P(K_b) \cdot P(B \mid K_b)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{11}{24}} = \frac{9}{11}.$

Pułapka. Liczenie w urnie II tylko „starych” kul ($\tfrac{2}{5}$) pomija przełożoną kulę, która może zostać wylosowana i właśnie dlatego zmienia wynik.

Odpowiedź. a) $P(B) = \dfrac{11}{24}$; b) $P(K_b \mid B) = \dfrac{9}{11}$.