Wylosowana kula jest biała - z której urny pochodzi? Wzór Bayesa

Krok 1. Dane. $U_1$, $U_2$ - wybór urny, $B$ - kula biała.

$P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}, \qquad P(B \mid U_1) = \frac{4}{5}, \qquad P(B \mid U_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$

Krok 2. Najpierw prawdopodobieństwo całkowite.

$P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{5} + \frac{1}{8} = \frac{16}{40} + \frac{5}{40} = \frac{21}{40}.$

Krok 3. Potem iloraz - wzór Bayesa. Szukamy $P(U_1 \mid B)$ - to „odwrócone” pytanie: znamy skutek (biała kula), pytamy o przyczynę (urnę).

$P(U_1 \mid B) = \frac{P(U_1) \cdot P(B \mid U_1)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{21}{40}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{40}{21} = \frac{16}{21}.$

Krok 4. Sens wyniku. Przed losowaniem obie urny były równie prawdopodobne. Biała kula jest silną wskazówką na urnę I, bo tam białe stanowią $80\%$ kul, a w urnie II tylko $25\%$. Dlatego szansa urny I wzrosła z $\tfrac{1}{2}$ do $\tfrac{16}{21} \approx 0{,}76$.

Pułapka. $P(B \mid U_1) = \tfrac{4}{5}$ to nie jest odpowiedź - to szansa białej kuli, gdy wiemy, że losujemy z urny I. Pytanie dotyczy odwrotnej sytuacji.

Odpowiedź. $P(U_1 \mid B) = \dfrac{16}{21} \approx 0{,}76$.