Test na rzadką chorobę - wynik dodatni, a szansa choroby tylko 33%

Krok 1. Dane. $Ch$ - osoba chora, $Z$ - zdrowa, $T$ - wynik dodatni.

$P(Ch) = 0{,}02, \quad P(Z) = 0{,}98, \qquad P(T \mid Ch) = 0{,}95, \quad P(T \mid Z) = 0{,}04.$

Krok 2. Drzewko.

Krok 3. Punkt a) - prawdopodobieństwo całkowite. Do wyniku dodatniego prowadzą dwie gałęzie:

$P(T) = 0{,}02 \cdot 0{,}95 + 0{,}98 \cdot 0{,}04 = 0{,}019 + 0{,}0392 = 0{,}0582.$

Krok 4. Punkt b) - wzór Bayesa.

$P(Ch \mid T) = \frac{P(Ch) \cdot P(T \mid Ch)}{P(T)} = \frac{0{,}019}{0{,}0582} = \frac{190}{582} = \frac{95}{291} \approx 0{,}326.$

Krok 5. Dlaczego tak mało? Wyobraźmy sobie $5000$ osób. Chorych jest $100$, z czego test wskaże $95$. Zdrowych jest $4900$, a test fałszywie wskaże $4\%$ z nich, czyli $196$. Wyników dodatnich jest $95 + 196 = 291$, ale tylko $95$ z nich dotyczy chorych. Fałszywych alarmów jest ponad dwa razy więcej niż prawdziwych, bo zdrowych jest niemal pięćdziesiąt razy więcej niż chorych.

Pułapka. Najczęstsza odpowiedź to $95\%$ - to jest $P(T \mid Ch)$, czułość testu, a nie szansa choroby po dodatnim wyniku. Ten sam efekt omawia hasło twierdzenie Bayesa.

Odpowiedź. a) $P(T) = 0{,}0582$; b) $P(Ch \mid T) = \dfrac{95}{291} \approx 32{,}6\%$.