Trzy osoby w windzie i pięć pięter - |Ω| z wariacji z powtórzeniami

Krok 1. Zapis wyniku. Wynik to trójka $(e, f, g)$ - piętra, na których wysiadają kolejno Ewa, Filip i Gosia. Np. $(2, 5, 2)$: Ewa i Gosia na drugim piętrze, Filip na piątym. Piętra mogą się powtarzać.

Krok 2. Liczymy Ω. Każda z trzech osób wybiera jedno z $5$ pięter niezależnie od innych:

$|\Omega| = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125.$

To wariacje z powtórzeniami (osoby „wybierają” piętra, a nie odwrotnie - dlatego $5^3$, a nie $3^5$).

Krok 3. Zdarzenie A. Ewa: $5$ pięter, Filip: $4$ pozostałe, Gosia: $3$ pozostałe.

$|A| = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.$

Krok 4. Zdarzenie B. Wystarczy wybrać wspólne piętro: $|B| = 5$.

Krok 5. Dokładnie dwie osoby razem. Pozostałe wyniki to właśnie te, w których dwie osoby wysiadają razem, a trzecia gdzie indziej:

$125 - 60 - 5 = 60.$

Kontrola wprost: wybieramy parę osób $\binom{3}{2} = 3$, ich wspólne piętro $5$, piętro trzeciej osoby $4$: $3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$. Zgadza się.

Uwaga o pułapce. Odpowiedź $3^5 = 243$ wynika z odwrócenia ról - to liczba sposobów, na które pięć pięter mogłoby „wybrać” jedną z trzech osób. Podstawa potęgi to liczba możliwości jednego wyboru (pięter), a wykładnik - liczba wybierających (osób).

Odpowiedź. a) $125$; b) $60$; c) $5$; d) $60$.