Losowanie dwóch kul po kolei - bez zwracania i ze zwracaniem

Szkoła średnia średnie

W urnie jest pięć kul z numerami $1, 2, 3, 4, 5$ . Losujemy kolejno dwie kule i zapisujemy ich numery w kolejności losowania.

a) Oblicz $|\Omega|$ , gdy losujemy bez zwracania (pierwszej kuli nie wkładamy z powrotem).

b) Oblicz $|\Omega|$ , gdy losujemy ze zwracaniem.

c) W losowaniu bez zwracania wypisz zdarzenie $A$ - „numer drugiej kuli jest większy od numeru pierwszej” - i podaj $|A|$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Bez zwracania. Wynik to para $(a, b)$ różnych numerów - kolejność ma znaczenie, bo losujemy po kolei. Pierwszą kulę wybieramy na $5$ sposobów, drugą już tylko spośród $4$ pozostałych:

$|\Omega| = 5 \cdot 4 = 20.$

To wariacje bez powtórzeń $V_5^2$ .

Krok 2. Ze zwracaniem. Po pierwszym losowaniu kula wraca, więc za drugim razem znowu jest $5$ możliwości, a pary typu $(3, 3)$ są dozwolone:

$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25.$

To wariacje z powtórzeniami $5^2$ .

Krok 3. Zdarzenie A (bez zwracania). Wypisujemy pary z $b > a$ , grupując po pierwszej kuli:

$A = \{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)\}, \qquad |A| = 10.$

Krok 4. Kontrola. Każda para różnych liczb $\{a, b\}$ występuje w $\Omega$ dwa razy: raz rosnąco, raz malejąco. Rosnących jest więc dokładnie połowa: $\tfrac{20}{2} = 10$ . Zgadza się z liczbą par, czyli $\binom{5}{2} = 10$ .

Odpowiedź. a) $|\Omega| = 20$ ; b) $|\Omega| = 25$ ; c) $|A| = 10$ (wypisane wyżej).

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →