Cztery osoby w kolejce - |Ω| z permutacji i zdarzenie „stoją obok siebie”

Szkoła średnia średnie

Ania, Bartek, Celina i Darek ustawiają się w losowej kolejności w kolejce do kasy. Oblicz $|\Omega|$ oraz $|A|$ , gdzie $A$ to zdarzenie „Ania i Bartek stoją bezpośrednio obok siebie”.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Liczymy Ω. Zdarzenie elementarne to ustawienie czterech osób w ciąg - permutacja zbioru $4$ -elementowego:

$|\Omega| = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.$

Krok 2. Metoda bloku. Ania i Bartek mają stać razem, więc „sklejamy” ich w jeden blok $[AB]$ . Ustawiamy teraz trzy obiekty: $[AB]$ , Celinę i Darka - na $3! = 6$ sposobów.

Krok 3. Kolejność wewnątrz bloku. W bloku może stać $AB$ albo $BA$ - to $2$ sposoby. Z reguły mnożenia:

$|A| = 3! \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12.$

Krok 4. Kontrola przez miejsca. Para sąsiednich miejsc w kolejce to $(1,2)$ , $(2,3)$ albo $(3,4)$ - $3$ możliwości. Ania i Bartek zajmują je na $2$ sposoby, a pozostali dwoje stają na wolnych miejscach na $2$ sposoby: $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ . Zgadza się.

Uwaga o pułapce. Zapomnienie o zamianie miejsc w bloku daje wynik $6$ - to tylko ustawienia, w których Ania stoi przed Bartkiem.

Odpowiedź. $|\Omega| = 24$ , $|A| = 12$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →