Czy |x² − 4| ma pochodną w punktach 1 i 2? Granice jednostronne ilorazu różnicowego

Krok 1. Wzór bez wartości bezwzględnej. $x^2 - 4 < 0$ dla $-2 < x < 2$, a $x^2 - 4 \geq 0$ dla $|x| \geq 2$. Zatem

$f(x) = 4 - x^2 \ \text{ dla } x \in (-2;\ 2), \qquad f(x) = x^2 - 4 \ \text{ dla } |x| \geq 2.$

Krok 2. Punkt $x_0 = 1$. Dla małych $h$ (np. $|h| < 1$) liczba $1 + h$ leży w przedziale $(-2;\ 2)$, więc liczymy z wzoru $4 - x^2$. $f(1) = 3$ i

$\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{4 - (1 + h)^2 - 3}{h} = \frac{-2h - h^2}{h} = -2 - h \ \xrightarrow{h \to 0}\ -2.$

Zatem $f'(1) = -2$ istnieje.

Krok 3. Punkt $x_0 = 2$, iloraz prawostronny. $f(2) = 0$. Dla $h > 0$ jest $2 + h > 2$, więc $f(2 + h) = (2 + h)^2 - 4 = 4h + h^2$:

$\lim_{h \to 0^+} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (4 + h) = 4.$

Krok 4. Punkt $x_0 = 2$, iloraz lewostronny. Dla małych $h < 0$ jest $2 + h \in (-2;\ 2)$, więc $f(2 + h) = 4 - (2 + h)^2 = -4h - h^2$:

$\lim_{h \to 0^-} \frac{-4h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-4 - h) = -4.$

Krok 5. Wniosek. Granice jednostronne ilorazu różnicowego w $x_0 = 2$ są różne ($-4 \neq 4$), więc granica nie istnieje i $f'(2)$ nie istnieje. Funkcja jest w $2$ ciągła ($f(2) = 0$), ale wykres ma tam ostrze: z lewej opada z nachyleniem $-4$, z prawej wznosi się z nachyleniem $4$.

Odpowiedź. $f'(1) = -2$ (styczna w punkcie $(1,\ 3)$ to $y = -2x + 5$), natomiast $f'(2)$ nie istnieje. Z symetrii wykresu tak samo jest w punkcie $x_0 = -2$.

Uwaga: wartość bezwzględna psuje różniczkowalność tylko tam, gdzie wyrażenie pod nią zmienia znak (tu $x = \pm 2$). W pozostałych punktach $f$ ma pochodną, bo lokalnie jest zwykłym wielomianem.