Parametry a i b, dla których funkcja sklejana z x³ i ax + b ma pochodną w 1

Krok 1. Plan. Pochodna w punkcie sklejenia istnieje, gdy granica ilorazu różnicowego istnieje, czyli gdy granice przy $h \to 0^-$ i $h \to 0^+$ są skończone i równe. Wartość w punkcie to $f(1) = 1^3 = 1$ (punkt $x = 1$ należy do pierwszego przedziału).

Krok 2. Iloraz lewostronny ($h < 0$, więc $1 + h < 1$ i działa wzór $x^3$):

$\lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + h)^3 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{3h + 3h^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \left( 3 + 3h + h^2 \right) = 3.$

Krok 3. Iloraz prawostronny ($h > 0$, działa wzór $ax + b$):

$\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{a(1 + h) + b - 1}{h} = \frac{(a + b - 1) + ah}{h} = \frac{a + b - 1}{h} + a.$

Krok 4. Warunek ciągłości. Jeśli $a + b - 1 \neq 0$, to składnik $\frac{a + b - 1}{h}$ dąży do $\pm\infty$ i granica nie jest skończona. Musi więc być $a + b = 1$ - to jest dokładnie warunek ciągłości funkcji w punkcie $1$ (prawy kawałek w $x = 1$ daje $a + b$, a $f(1) = 1$). Wtedy iloraz prawostronny jest stale równy $a$.

Krok 5. Równość nachyleń. Granice jednostronne muszą być równe: $a = 3$. Z warunku ciągłości $b = 1 - a = -2$.

Krok 6. Sprawdzenie. Dla $a = 3$, $b = -2$ prosta $y = 3x - 2$ przechodzi przez $(1,\ 1)$ i ma nachylenie $3 = f'(1)$ dla $x^3$ - jest styczną do sześciennej paraboli w tym punkcie, więc sklejenie jest gładkie.

Odpowiedź. $a = 3$, $b = -2$; wtedy $f'(1) = 3$.

Same warunki ciągłości nie wystarczą: na przykład $a = 1$, $b = 0$ też daje funkcję ciągłą w punkcie $1$, ale z nachyleniem $3$ po lewej i $1$ po prawej - wykres ma załamanie i pochodnej nie ma.