Prędkość średnia i chwilowa z ilorazu różnicowego - droga s(t) = 2t² + t

Krok 1. Iloraz różnicowy dla dowolnego $h$. Prędkość średnia w przedziale $\langle 3;\ 3 + h\rangle$ to przyrost drogi podzielony przez przyrost czasu. Mamy $s(3) = 18 + 3 = 21$ oraz

$s(3 + h) = 2(3 + h)^2 + (3 + h) = 2(9 + 6h + h^2) + 3 + h = 21 + 13h + 2h^2.$

Stąd dla $h \neq 0$:

$v_{\text{śr}} = \frac{s(3 + h) - s(3)}{h} = \frac{13h + 2h^2}{h} = 13 + 2h.$

Krok 2. Konkretne przedziały. Dla $\langle 3;\ 3{,}5\rangle$ jest $h = 0{,}5$, więc $v_{\text{śr}} = 13 + 1 = 14$ m/s. Dla $\langle 3;\ 3{,}1\rangle$ jest $h = 0{,}1$, więc $v_{\text{śr}} = 13{,}2$ m/s. Sprawdzenie pierwszego wyniku wprost: $s(3{,}5) = 24{,}5 + 3{,}5 = 28$, a $\frac{28 - 21}{0{,}5} = 14$.

Krok 3. Prędkość chwilowa. To granica prędkości średnich przy coraz krótszym przedziale:

$v(3) = s'(3) = \lim_{h \to 0} (13 + 2h) = 13.$

Odpowiedź. a) $14$ m/s oraz $13{,}2$ m/s. b) Prędkość chwilowa w chwili $t_0 = 3$ s wynosi $13$ m/s (czyli $46{,}8$ km/h). Im krótszy przedział, tym bliżej prędkości średniej do $13$ m/s.