Pochodna wielomianu trzeciego stopnia z definicji - x³ − 2x w punkcie −1

Krok 1. Definicja.

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}.$

Krok 2. Wartość w punkcie. $f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1$.

Krok 3. Wartość w punkcie przesuniętym. Ze wzoru $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$ dla $a = -1$, $b = h$:

$(-1 + h)^3 = -1 + 3h - 3h^2 + h^3,$

$f(-1 + h) = -1 + 3h - 3h^2 + h^3 - 2(-1 + h) = 1 + h - 3h^2 + h^3.$

Krok 4. Iloraz różnicowy. Dla $h \neq 0$:

$\frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} = \frac{h - 3h^2 + h^3}{h} = 1 - 3h + h^2.$

Krok 5. Granica.

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \left( 1 - 3h + h^2 \right) = 1.$

Krok 6. Sprawdzenie. $f'(x) = 3x^2 - 2$, więc $f'(-1) = 3 - 2 = 1$.

Odpowiedź. $f'(-1) = 1$.

Typowy błąd to znak w rozwinięciu: $(-1 + h)^3$ zaczyna się od $-1$, a wyraz $3a^2 b = 3h$ jest dodatni, bo $a^2 = 1$. Pomyłka w znaku daje $f'(-1) = -5$ albo $5$.