Pochodna funkcji 3/(x + 1) z definicji - wspólny mianownik w ilorazie różnicowym

Krok 1. Wartości funkcji. $f(2) = \frac{3}{3} = 1$ oraz $f(2 + h) = \frac{3}{3 + h}$ (dla $h$ bliskich zera mianownik jest różny od zera).

Krok 2. Różnica wartości - wspólny mianownik.

$f(2 + h) - f(2) = \frac{3}{3 + h} - 1 = \frac{3 - (3 + h)}{3 + h} = \frac{-h}{3 + h}.$

Krok 3. Iloraz różnicowy. Dla $h \neq 0$:

$\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{-h}{(3 + h) \cdot h} = \frac{-1}{3 + h}.$

Krok 4. Granica. Teraz można podstawić $h = 0$, bo mianownik dąży do $3$:

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{3 + h} = -\frac{1}{3}.$

Krok 5. Sprawdzenie. Ze wzoru na pochodną ilorazu $f'(x) = -\frac{3}{(x + 1)^2}$, więc $f'(2) = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

Odpowiedź. $f'(2) = -\frac{1}{3}$. Pochodna jest ujemna, więc w punkcie $(2,\ 1)$ wykres opada: styczna ma współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{3}$, a jej równanie to $y = -\frac{1}{3}(x - 2) + 1$, czyli $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.