Pochodna pierwiastka √(2x + 1) z definicji - mnożenie przez sprzężenie

Krok 1. Wartości funkcji. $f(4) = \sqrt{9} = 3$ oraz $f(4 + h) = \sqrt{2(4 + h) + 1} = \sqrt{9 + 2h}$.

Krok 2. Iloraz różnicowy.

$\frac{f(4 + h) - f(4)}{h} = \frac{\sqrt{9 + 2h} - 3}{h}.$

Dla $h \to 0$ licznik i mianownik dążą do zera - symbol $\frac{0}{0}$. Różnicy pierwiastka i liczby nie da się skrócić z $h$ bezpośrednio.

Krok 3. Mnożymy przez sprzężenie $\sqrt{9 + 2h} + 3$ i korzystamy ze wzoru $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$:

$\frac{\sqrt{9 + 2h} - 3}{h} \cdot \frac{\sqrt{9 + 2h} + 3}{\sqrt{9 + 2h} + 3} = \frac{(9 + 2h) - 9}{h \left( \sqrt{9 + 2h} + 3 \right)} = \frac{2h}{h \left( \sqrt{9 + 2h} + 3 \right)} = \frac{2}{\sqrt{9 + 2h} + 3}.$

Krok 4. Granica. Teraz podstawiamy $h = 0$:

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{9 + 2h} + 3} = \frac{2}{3 + 3} = \frac{1}{3}.$

Krok 5. Sprawdzenie. Z reguły łańcuchowej $f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$, więc $f'(4) = \frac{1}{3}$.

Odpowiedź. $f'(4) = \frac{1}{3}$.

Zwróć uwagę na licznik $2$ po skróceniu: pochodzi ze współczynnika $2$ przy $x$ pod pierwiastkiem. Kto go zgubi, dostanie $\frac{1}{6}$ - tyle wynosiłaby pochodna $\sqrt{x + 5}$ w punkcie $4$.