Pochodna z definicji w postaci x → x₀ - funkcja −x² + 6x w punkcie 2

Krok 1. Wartość w punkcie. $f(2) = -4 + 12 = 8$.

Krok 2. Iloraz różnicowy. Dla $x \neq 2$:

$\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{-x^2 + 6x - 8}{x - 2}.$

Dla $x = 2$ licznik i mianownik są równe zeru - symbol $\frac{0}{0}$, więc licznik musi dzielić się przez $(x - 2)$.

Krok 3. Rozkład licznika. $-x^2 + 6x - 8 = -(x^2 - 6x + 8) = -(x - 2)(x - 4)$, bo trójmian $x^2 - 6x + 8$ ma pierwiastki $2$ i $4$. Skracamy (wolno, bo $x \neq 2$):

$\frac{-(x - 2)(x - 4)}{x - 2} = -(x - 4) = 4 - x.$

Krok 4. Granica.

$f'(2) = \lim_{x \to 2} (4 - x) = 2.$

Krok 5. Sprawdzenie i interpretacja. Ze wzorów $f'(x) = -2x + 6$, więc $f'(2) = 2$ - zgadza się. Parabola ma wierzchołek w $x = 3$; w punkcie $(2,\ 8)$ jest jeszcze na ramieniu rosnącym, dlatego nachylenie stycznej jest dodatnie.

Odpowiedź. $f'(2) = 2$.