Wzór Herona z pierwiastkiem w wyniku: trójkąt o bokach 4, 5 i 7

Krok 1. Połowa obwodu.

$p = \frac{4 + 5 + 7}{2} = 8.$

Krok 2. Różnice. $p - 4 = 4$, $p - 5 = 3$, $p - 7 = 1$.

Krok 3. Wzór Herona.

$P = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80.$

Wynik niewymierny jest tu czymś zwykłym - całkowite boki wcale nie gwarantują całkowitego pola. Pierwiastek upraszczamy, wyłączając największy kwadrat: $96 = 16 \cdot 6$.

Krok 4. Wysokość opuszczona na bok $7$. Z wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h$:

$h = \frac{2P}{7} = \frac{8\sqrt{6}}{7} \approx 2{,}80.$

Odpowiedź. $P = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80$, a wysokość opuszczona na bok $7$ ma długość $\frac{8\sqrt{6}}{7} \approx 2{,}80$.