Trójkąt o bokach 11, 13 i 20 - pole wzorem Herona i wszystkie trzy wysokości

Krok 1. Połowa obwodu i różnice.

$p = \frac{11 + 13 + 20}{2} = 22, \qquad p - 11 = 11, \quad p - 13 = 9, \quad p - 20 = 2.$

Krok 2. Wzór Herona. Rozkład na czynniki: $22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2 = (2 \cdot 11) \cdot 11 \cdot 3^2 \cdot 2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2$, więc

$P = \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66.$

Krok 3. Wysokości z pola. Każda wysokość to podwojone pole podzielone przez bok, na który opada: $h = \frac{2P}{\text{bok}} = \frac{132}{\text{bok}}$.

$h_{11} = \frac{132}{11} = 12, \qquad h_{13} = \frac{132}{13} \approx 10{,}15, \qquad h_{20} = \frac{132}{20} = 6{,}6.$

Krok 4. Najkrótsza wysokość. Iloczyn boku i jego wysokości jest stały ($= 2P$), więc na najdłuższy bok opada najkrótsza wysokość: $h_{20} = 6{,}6$.

Odpowiedź. $P = 66$; wysokości: $12$ (na bok $11$), $\frac{132}{13} \approx 10{,}15$ (na bok $13$) i $6{,}6$ (na bok $20$) - ta ostatnia jest najkrótsza.