Trójkąt równoramienny 17, 17, 16 - promienie r i R oraz odległość środków okręgów

Krok 1. Pole wzorem Herona. $p = \frac{17 + 17 + 16}{2} = 25$, różnice: $8$, $8$, $9$:

$P = \sqrt{25 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9} = 5 \cdot 8 \cdot 3 = 120.$

Kontrola: wysokość $CF$ dzieli podstawę na połowy, więc $|CF| = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$ i $P = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$.

Krok 2. Promienie.

$r = \frac{P}{p} = \frac{120}{25} = 4{,}8, \qquad R = \frac{abc}{4P} = \frac{17 \cdot 17 \cdot 16}{4 \cdot 120} = \frac{4624}{480} = \frac{289}{30} \approx 9{,}63.$

Krok 3. Gdzie leżą środki. Trójkąt jest symetryczny względem prostej $CF$, więc oba środki leżą na wysokości $CF$. Środek $I$ okręgu wpisanego jest odległy o $r$ od podstawy: $|IF| = 4{,}8$. Środek $O$ okręgu opisanego jest odległy o $R$ od wierzchołka $C$:

$|OF| = |CF| - |CO| = 15 - \frac{289}{30} = \frac{450 - 289}{30} = \frac{161}{30} \approx 5{,}37.$

Krok 4. Odległość środków. Oba punkty leżą na jednym odcinku $CF$, więc:

$|OI| = |OF| - |IF| = \frac{161}{30} - \frac{144}{30} = \frac{17}{30} \approx 0{,}57.$

Krok 5. Kontrola wzorem Eulera $|OI|^2 = R^2 - 2Rr = R(R - 2r)$:

$\frac{289}{30} \cdot \left(\frac{289}{30} - \frac{288}{30}\right) = \frac{289}{900} = \left(\frac{17}{30}\right)^2.$

Zgadza się. Środki są bardzo blisko, bo trójkąt niewiele różni się od równobocznego - w równobocznym pokrywają się.

Odpowiedź. $r = 4{,}8$, $R = \frac{289}{30} \approx 9{,}63$, odległość środków $\frac{17}{30} \approx 0{,}57$.