Czy istnieje trójkąt o bokach 3, 4, 8, o bokach 4, 7, 11 albo 5, 9, 12? Wzór Herona

Krok 1. Na co patrzymy. Czynnik $p - c$ we wzorze Herona to $\frac{a + b - c}{2}$. Jest dodatni dokładnie wtedy, gdy $a + b > c$ - czyli gdy spełniona jest nierówność trójkąta. Wystarczy więc sprawdzić znak różnic $p - a$, $p - b$, $p - c$.

Krok 2. Trójka $3, 4, 8$. $p = \frac{3 + 4 + 8}{2} = 7{,}5$, a różnice to $4{,}5$, $3{,}5$ i $7{,}5 - 8 = -0{,}5$:

$p(p-a)(p-b)(p-c) = 7{,}5 \cdot 4{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot (-0{,}5) < 0.$

Pod pierwiastkiem wyszła liczba ujemna - to nie błąd rachunkowy, tylko sygnał, że trójkąt nie istnieje: $3 + 4 = 7 < 8$.

Krok 3. Trójka $4, 7, 11$. $p = \frac{4 + 7 + 11}{2} = 11$, a $p - 11 = 0$, więc „pole” wynosi $0$. Boki $4$ i $7$ sięgają dokładnie do jednego punktu na boku $11$, bo $4 + 7 = 11$ - trzy wierzchołki leżą na jednej prostej. To nie jest trójkąt.

Krok 4. Trójka $5, 9, 12$. $p = \frac{5 + 9 + 12}{2} = 13$, różnice $8$, $4$, $1$ - wszystkie dodatnie:

$P = \sqrt{13 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{416} = \sqrt{16 \cdot 26} = 4\sqrt{26} \approx 20{,}40.$

Odpowiedź. a) nie istnieje (iloczyn ujemny); b) nie istnieje (iloczyn równy $0$, trójkąt zdegenerowany); c) istnieje, $P = 4\sqrt{26} \approx 20{,}40$.