Trójkąt o bokach 25, 39 i 56 - pole, promienie r i R oraz suma odwrotności wysokości

Krok 1. Pole wzorem Herona. $p = \frac{25 + 39 + 56}{2} = 60$, różnice: $35$, $21$, $4$:

$P = \sqrt{60 \cdot 35 \cdot 21 \cdot 4} = \sqrt{176\,400} = 420.$

Rozkład: $60 \cdot 35 \cdot 21 \cdot 4 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7) \cdot 2^2 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2$, a $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Krok 2. Promienie.

$r = \frac{P}{p} = \frac{420}{60} = 7, \qquad R = \frac{abc}{4P} = \frac{25 \cdot 39 \cdot 56}{4 \cdot 420} = \frac{54\,600}{1680} = 32{,}5.$

Promień $R$ jest duży, bo trójkąt jest rozwartokątny: $56^2 = 3136 > 25^2 + 39^2 = 2146$. Środek okręgu opisanego leży wtedy poza trójkątem.

Krok 3. Wysokości ze wzoru $h = \frac{2P}{\text{bok}} = \frac{840}{\text{bok}}$:

$h_{25} = \frac{840}{25} = 33{,}6, \qquad h_{39} = \frac{840}{39} = \frac{280}{13} \approx 21{,}54, \qquad h_{56} = \frac{840}{56} = 15.$

Krok 4. Dowód równości. Z $P = \frac{1}{2} a h_a$ mamy $\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2P}$, i tak samo dla pozostałych boków. Dodajemy:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a + b + c}{2P} = \frac{2p}{2P} = \frac{p}{P}.$

Ze wzoru $P = r \cdot p$ wynika $\frac{p}{P} = \frac{1}{r}$, co kończy dowód. $\blacksquare$

Krok 5. Sprawdzenie na liczbach. Wspólny mianownik $840$:

$\frac{1}{33{,}6} + \frac{13}{280} + \frac{1}{15} = \frac{25}{840} + \frac{39}{840} + \frac{56}{840} = \frac{120}{840} = \frac{1}{7} = \frac{1}{r}.$

Odpowiedź. a) $P = 420$, $r = 7$, $R = 32{,}5$; b) $h_{25} = 33{,}6$, $h_{39} = \frac{280}{13} \approx 21{,}54$, $h_{56} = 15$; c) suma odwrotności wysokości wynosi $\frac{1}{7} = \frac{1}{r}$.