Wzór Herona: pole trójkąta o bokach 9, 10 i 17

Krok 1. Dobór wzoru. Znamy tylko trzy boki - nie znamy żadnej wysokości ani kąta. To sytuacja na wzór Herona:

$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p = \frac{a+b+c}{2}.$

Krok 2. Połowa obwodu.

$p = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18.$

Krok 3. Różnice. $p - 9 = 9$, $p - 10 = 8$, $p - 17 = 1$. Wszystkie są dodatnie, więc trójkąt istnieje.

Krok 4. Pierwiastek. Rozkładamy iloczyn na czynniki pierwsze, żeby spierwiastkować bez kalkulatora:

$18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1 = (2 \cdot 3^2) \cdot 3^2 \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 3^4,$

$P = \sqrt{2^4 \cdot 3^4} = 2^2 \cdot 3^2 = 36.$

Uwaga: we wzorze występuje połowa obwodu. Z pełnym obwodem $36$ dostalibyśmy pod pierwiastkiem $36 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 19$ i zupełnie inny, błędny wynik.

Odpowiedź. Pole trójkąta wynosi $36$.