Promienie r i R dla trójkąta o bokach 17, 25 i 28 - wzory P = r · p i P = abc/(4R)

Krok 1. Pole wzorem Herona. $p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35$, a różnice to $p - 17 = 18$, $p - 25 = 10$, $p - 28 = 7$:

$P = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{44\,100} = 210.$

Rozkład: $35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2$, a $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

Krok 2. Promień okręgu wpisanego ze wzoru $P = r \cdot p$:

$r = \frac{P}{p} = \frac{210}{35} = 6.$

Krok 3. Promień okręgu opisanego ze wzoru $P = \frac{abc}{4R}$:

$R = \frac{abc}{4P} = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{4 \cdot 210} = \frac{11\,900}{840} = \frac{85}{6} \approx 14{,}17.$

Krok 4. Kontrola. Zawsze zachodzi $R \geq 2r$. Tu $\frac{85}{6} \approx 14{,}17 \geq 12$ - zgadza się. Gdyby wyszło $R < r$, oznaczałoby to pomylenie wzorów.

Uwaga: we wzorze $r = \frac{P}{p}$ dzielimy przez połowę obwodu. Dzieląc przez cały obwód $70$, dostalibyśmy $3$ - dwa razy za mało.

Odpowiedź. $P = 210$, $r = 6$, $R = \frac{85}{6} \approx 14{,}17$.