Nierówność logarytmiczna log₃(x − 2) < 2 - podstawa większa od 1

Krok 1. Dziedzina. $x - 2 > 0$, czyli $x > 2$.

Krok 2. Prawa strona jako logarytm. Liczbę $2$ zapisujemy jako logarytm o tej samej podstawie: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.

$\log_3 (x - 2) < \log_3 9.$

Krok 3. Porównanie liczb logarytmowanych. Podstawa $3 > 1$, więc funkcja $\log_3$ jest rosnąca - mniejszy logarytm ma mniejszą liczbę logarytmowaną, a zwrot nierówności zostaje:

$x - 2 < 9 \quad\Longrightarrow\quad x < 11.$

Krok 4. Część wspólna z dziedziną. $x > 2$ i $x < 11$. Bez dziedziny wyszłoby błędnie $x < 11$ - a przecież dla $x = 0$ logarytm $\log_3(-2)$ w ogóle nie istnieje.

Sprawdzenie dla $x = 5$: $\log_3 3 = 1 < 2$. $\checkmark$ Dla $x = 11$: $\log_3 9 = 2$ - nierówność ostra, więc $11$ odpada.

Odpowiedź. $x \in (2, 11)$.