Suma logarytmów w nierówności: log₂x + log₂(x − 2) ≤ 3

Krok 1. Dziedzina. $x > 0$ i $x - 2 > 0$, czyli $x > 2$.

Krok 2. Logarytm iloczynu i prawa strona jako logarytm. $3 = \log_2 8$:

$\log_2 \big(x(x - 2)\big) \leq \log_2 8.$

Krok 3. Porównanie. Podstawa $2 > 1$ - zwrot zostaje:

$x(x - 2) \leq 8 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x - 8 \leq 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 4)(x + 2) \leq 0.$

Parabola ma ramiona skierowane w górę i miejsca zerowe $-2$ oraz $4$, więc $x \in [-2, 4]$.

Krok 4. Część wspólna z dziedziną. $[-2, 4] \cap (2, +\infty) = (2, 4]$. Tu dziedzina robi dużą różnicę: liczby z przedziału $[-2, 2]$ spełniają nierówność kwadratową, ale dla nich wyjściowe logarytmy nie istnieją.

Sprawdzenie dla $x = 4$: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3 \leq 3$. $\checkmark$

Odpowiedź. $x \in (2, 4]$.