Różne podstawy w nierówności: log₉(x + 7) ≥ log₃(x + 1)

Krok 1. Dziedzina. $x + 7 > 0$ i $x + 1 > 0$, czyli $x > -1$.

Krok 2. Wspólna podstawa. Lewą stronę zamieniamy na podstawę $3$:

$\log_9 (x + 7) = \frac{\log_3 (x + 7)}{\log_3 9} = \frac{1}{2}\log_3 (x + 7).$

Krok 3. Pozbywamy się ułamka. Mnożymy przez $2 > 0$ (zwrot zostaje) i wciągamy dwójkę po prawej jako wykładnik - wolno, bo $x + 1 > 0$:

$\log_3 (x + 7) \geq 2\log_3 (x + 1) = \log_3 (x + 1)^2.$

Krok 4. Porównanie. Podstawa $3 > 1$, zwrot zostaje:

$x + 7 \geq (x + 1)^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 6 \leq 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 3)(x - 2) \leq 0.$

Stąd $x \in [-3, 2]$.

Krok 5. Część wspólna z dziedziną. $[-3, 2] \cap (-1, +\infty) = (-1, 2]$.

Sprawdzenie dla $x = 2$: $\log_9 9 = 1$ i $\log_3 3 = 1$, więc $1 \geq 1$. $\checkmark$ Dla $x = 0$: $\log_9 7 \approx 0{,}886 \geq \log_3 1 = 0$. $\checkmark$

Odpowiedź. $x \in (-1, 2]$.