Dwa logarytmy: log⅓(2x − 1) > log⅓(x + 2) - dziedzina i zmiana zwrotu

Krok 1. Dziedzina. Oba logarytmy muszą istnieć:

$2x - 1 > 0 \ \text{ i } \ x + 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{1}{2} \ \text{ i } \ x > -2.$

Razem: $x > \frac{1}{2}$.

Krok 2. Porównanie liczb logarytmowanych. Podstawa $\frac{1}{3} \in (0, 1)$ - funkcja jest malejąca, więc zmieniamy zwrot:

$2x - 1 < x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x < 3.$

Krok 3. Część wspólna z dziedziną. $\frac{1}{2} < x < 3$.

Sprawdzenie dla $x = 1$: $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$, a $\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$, więc $0 > -1$. $\checkmark$ Dla $x = 4$: $\log_{\frac{1}{3}} 7 > \log_{\frac{1}{3}} 6$? Nie - przy malejącej funkcji większa liczba ma mniejszy logarytm, więc $4$ słusznie odpada.

Odpowiedź. $x \in \left(\dfrac{1}{2}, 3\right)$.