Podstawienie w nierówności: log₃²x − log₃x − 2 > 0

Krok 1. Dziedzina. $x > 0$.

Krok 2. Podstawienie. Niech $t = \log_3 x$ ($t$ może być dowolną liczbą rzeczywistą):

$t^2 - t - 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad (t - 2)(t + 1) > 0.$

Parabola o ramionach w górę jest dodatnia na zewnątrz miejsc zerowych $-1$ i $2$:

$t < -1 \ \text{ lub } \ t > 2.$

Krok 3. Powrót do $x$. Każdy warunek to osobna nierówność logarytmiczna. Podstawa $3 > 1$, więc zwroty zostają:

$\log_3 x < -1 = \log_3 \tfrac{1}{3} \ \Longrightarrow\ x < \tfrac{1}{3}, \qquad \log_3 x > 2 = \log_3 9 \ \Longrightarrow\ x > 9.$

Krok 4. Część wspólna z dziedziną. Z pierwszego warunku i $x > 0$ dostajemy $0 < x < \frac{1}{3}$, z drugiego $x > 9$.

Sprawdzenie dla $x = 1$ (spoza zbioru): $t = 0$, a $0 - 0 - 2 = -2 < 0$ - słusznie odpada. Dla $x = 27$: $t = 3$, $9 - 3 - 2 = 4 > 0$. $\checkmark$

Odpowiedź. $x \in \left(0, \dfrac{1}{3}\right) \cup (9, +\infty)$.