Podstawa mniejsza od 1: log₀,₅(x + 1) ≥ −3 - zmiana zwrotu nierówności

Krok 1. Dziedzina. $x + 1 > 0$, czyli $x > -1$.

Krok 2. Prawa strona jako logarytm. $-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8$, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$:

$\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \geq \log_{\frac{1}{2}} 8.$

Krok 3. Zmiana zwrotu. Podstawa $\frac{1}{2}$ leży w przedziale $(0, 1)$, więc funkcja $\log_{\frac{1}{2}}$ jest malejąca: większy logarytm ma mniejszą liczbę logarytmowaną. Przechodząc do liczb logarytmowanych, odwracamy zwrot:

$x + 1 \leq 8 \quad\Longrightarrow\quad x \leq 7.$

Krok 4. Część wspólna z dziedziną. $x > -1$ i $x \leq 7$.

Sprawdzenie dla $x = 7$: $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3 \geq -3$. $\checkmark$ Dla $x = 15$: $\log_{\frac{1}{2}} 16 = -4 < -3$ - poza zbiorem, zgodnie z odpowiedzią.

Odpowiedź. $x \in (-1, 7]$.