Ruletka: wartość oczekiwana zakładu na kolor i na jedną liczbę

Krok 1. Zakład na kolor - rozkład. Czerwone wypada z prawdopodobieństwem $\tfrac{18}{37}$; pozostałe $19$ pól (czarne i zero) daje przegraną.

$E(X) = 10 \cdot \frac{18}{37} - 10 \cdot \frac{19}{37} = -\frac{10}{37} \approx -0{,}27 \text{ zł}.$

To zero sprawia, że gra nie jest sprawiedliwa: bez niego byłoby $\tfrac{18}{36}$ na $\tfrac{18}{36}$ i $E(X) = 0$.

Krok 2. Zakład na liczbę. Wygrana netto $35 \cdot 10 = 350$ zł z prawdopodobieństwem $\tfrac{1}{37}$, strata $10$ zł z prawdopodobieństwem $\tfrac{36}{37}$:

$E(Y) = 350 \cdot \frac{1}{37} - 10 \cdot \frac{36}{37} = \frac{350 - 360}{37} = -\frac{10}{37} \approx -0{,}27 \text{ zł}.$

Ciekawostka: wartość oczekiwana jest taka sama jak przy kolorze. Zakłady różnią się ryzykiem (rozrzutem wyników), ale kasyno na każdym zarabia średnio $\tfrac{1}{37} \approx 2{,}7\%$ stawki.

Krok 3. Tysiąc gier (c). Wartość oczekiwana sumy to suma wartości oczekiwanych:

$1000 \cdot \left(-\frac{10}{37}\right) = -\frac{10000}{37} \approx -270{,}27 \text{ zł}.$

Pułapka. „Na kolor szansa jest pół na pół” - nie jest: zielone zero jest po stronie kasyna, więc $P(\text{czerwone}) = \tfrac{18}{37} < \tfrac{1}{2}$.

Odpowiedź. a) $E(X) = -\dfrac{10}{37} \approx -0{,}27$ zł. b) $E(Y) = -\dfrac{10}{37} \approx -0{,}27$ zł. c) Średnio około $270$ zł straty.