Liczba orłów w trzech rzutach monetą - rozkład i wartość oczekiwana

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń elementarnych. Wynik to ciąg trzech liter O/R: $|\Omega| = 2^3 = 8$, wszystkie wyniki jednakowo prawdopodobne:

$\Omega = \{OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR\}.$

Krok 2. Jakie wartości przyjmuje $X$. Orłów może być $0, 1, 2$ albo $3$. Liczymy wyniki dla każdej wartości:

• $X = 0$: tylko $RRR$ - $1$ wynik,
• $X = 1$: $ORR, ROR, RRO$ - $3$ wyniki,
• $X = 2$: $OOR, ORO, ROO$ - $3$ wyniki,
• $X = 3$: tylko $OOO$ - $1$ wynik.

Krok 3. Rozkład w tabeli.

Kontrola: $\tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{8} + \tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{8} = 1$.

Krok 4. Wartość oczekiwana. Mnożymy każdą wartość przez jej prawdopodobieństwo i dodajemy:

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.$

Interpretacja. W jednej serii trzech rzutów nie da się wyrzucić „półtora orła” - ale przy wielu powtórzeniach serii średnia liczba orłów na serię będzie bliska $1{,}5$.

Odpowiedź. Rozkład jak w tabeli; $E(X) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.