Gra w kości za 4 zł - czy gra jest sprawiedliwa? Wartość oczekiwana

Krok 1. Rozkład wygranej netto. Od każdej wypłaty odejmujemy $4$ zł opłaty:

• szóstka: $15 - 4 = 11$ zł, prawdopodobieństwo $\tfrac{1}{6}$,
• piątka: $6 - 4 = 2$ zł, prawdopodobieństwo $\tfrac{1}{6}$,
• $1, 2, 3, 4$: $0 - 4 = -4$ zł, prawdopodobieństwo $\tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}$.

Krok 2. Wartość oczekiwana.

$E(X) = -4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 11 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{16}{6} + \frac{2}{6} + \frac{11}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}.$

Gra jest sprawiedliwa, gdy $E(X) = 0$. Tu $E(X) = -0{,}50$ zł: gracz traci średnio $50$ groszy na grze, więc gra jest niekorzystna dla gracza.

Krok 3. Sprawiedliwa opłata (b). Średnia wypłata (bez opłaty) to

$E(W) = 15 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{4}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5 \text{ zł}.$

Gra jest sprawiedliwa, gdy opłata równa się średniej wypłacie: $3{,}50$ zł.

Krok 4. Sprawiedliwa wypłata za szóstkę (c). Niech $w$ - wypłata za szóstkę. Średnia wypłata ma się równać opłacie:

$\frac{w}{6} + \frac{6}{6} = 4 \iff w + 6 = 24 \iff w = 18.$

Odpowiedź. a) $E(X) = -\dfrac{1}{2}$ zł - gra nie jest sprawiedliwa (niekorzystna dla gracza). b) $3{,}50$ zł. c) $18$ zł.