Liczba białych kul przy losowaniu dwóch kul - rozkład i E(X)

Krok 1. Przestrzeń. Losujemy dwuelementowy podzbiór zbioru $10$ kul (kolejność nie gra roli):

$|\Omega| = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45.$

Krok 2. Liczymy zdarzenia.

• $X = 0$ (dwie czarne): $\binom{6}{2} = 15$,
• $X = 1$ (jedna biała i jedna czarna): $\binom{4}{1} \cdot \binom{6}{1} = 4 \cdot 6 = 24$,
• $X = 2$ (dwie białe): $\binom{4}{2} = 6$.

Kontrola: $15 + 24 + 6 = 45$.

Krok 3. Rozkład.

Krok 4. Wartość oczekiwana.

$E(X) = 0 \cdot \frac{15}{45} + 1 \cdot \frac{24}{45} + 2 \cdot \frac{6}{45} = \frac{24 + 12}{45} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}.$

Sprawdzenie innym sposobem. Każda z dwóch wylosowanych kul jest biała z prawdopodobieństwem $\tfrac{4}{10}$, więc średnio białych kul jest $2 \cdot \tfrac{4}{10} = \tfrac{4}{5}$ - wynik ten sam (wartość oczekiwana sumy to suma wartości oczekiwanych, także przy losowaniu bez zwracania).

Pułapka. Przy $X = 1$ łatwo policzyć tylko $4$ albo tylko $6$ par - trzeba wybrać i białą, i czarną, więc mnożymy: $4 \cdot 6 = 24$.

Odpowiedź. $P(X = 0) = \dfrac{1}{3}$, $P(X = 1) = \dfrac{8}{15}$, $P(X = 2) = \dfrac{2}{15}$; $E(X) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$.