Brakujące prawdopodobieństwa w rozkładzie przy danej wartości oczekiwanej

Krok 1. Dwa warunki, dwie niewiadome. O każdym rozkładzie wiemy dwie rzeczy: prawdopodobieństwa sumują się do $1$, a wartość oczekiwana jest sumą iloczynów $x_i p_i$.

Krok 2. Suma prawdopodobieństw.

$0{,}1 + a + b + 0{,}2 = 1 \iff a + b = 0{,}7.$

Krok 3. Wartość oczekiwana. Składnik z $x = 0$ znika, więc $a$ w ogóle tu nie występuje:

$E(X) = -2 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot a + 1 \cdot b + 3 \cdot 0{,}2 = -0{,}2 + b + 0{,}6 = b + 0{,}4.$

Z warunku $E(X) = 0{,}9$: $b + 0{,}4 = 0{,}9$, czyli $b = 0{,}5$.

Krok 4. Wyznaczamy $a$. $a = 0{,}7 - b = 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2$.

Krok 5. Sprawdzenie. Oba prawdopodobieństwa należą do przedziału $\langle 0, 1 \rangle$, suma: $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1$, a

$E(X) = -0{,}2 + 0 + 0{,}5 + 0{,}6 = 0{,}9.$

Pułapka. Warto zawsze sprawdzić, czy wyliczone $a$ i $b$ są nieujemne - gdyby z rachunku wyszło np. $a = -0{,}1$, tabela nie byłaby rozkładem i zadanie nie miałoby rozwiązania.

Odpowiedź. $a = 0{,}2$, $b = 0{,}5$.