Większa liczba oczek z dwóch kostek - rozkład maksimum i E(X)

Krok 1. Przestrzeń. Wynik to para $(a, b)$, $a, b \in \{1, 2, \ldots, 6\}$: $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$ jednakowo prawdopodobnych par.

Krok 2. Ile par ma maksimum równe $k$. Obie liczby są nie większe od $k$ w $k \cdot k = k^2$ parach. Spośród nich te, w których obie są nie większe od $k - 1$, to $(k-1)^2$ par - w nich maksimum jest mniejsze od $k$. Zatem

$|\{X = k\}| = k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1.$

Sprawdzenie dla $k = 2$: pary $(1,2), (2,1), (2,2)$ - trzy, zgadza się z $2 \cdot 2 - 1 = 3$.

Krok 3. Rozkład.

Kontrola: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$.

Krok 4. Wartość oczekiwana.

$E(X) = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66}{36} = \frac{161}{36} \approx 4{,}47.$

Komentarz. Dla jednej kostki średnia liczba oczek wynosi $3{,}5$. Biorąc lepszy z dwóch rzutów, podnosimy średnią prawie o jedno oczko - duże wartości maksimum są dużo bardziej prawdopodobne niż małe.

Pułapka. Rozkład nie jest równomierny: $P(X = 6) = \tfrac{11}{36}$, a nie $\tfrac{1}{6}$. Kto przyjmie $p_i = \tfrac{1}{6}$ dla każdego $k$, dostanie błędne $E(X) = 3{,}5$.

Odpowiedź. $P(X = k) = \dfrac{2k - 1}{36}$ dla $k = 1, \ldots, 6$; $E(X) = \dfrac{161}{36} \approx 4{,}47$.