Ubezpieczenie roweru: oczekiwana wypłata i zysk ubezpieczyciela

Szkoła średnia średnie

Firma ubezpiecza rower na rok. W razie kradzieży wypłaca $2400$ zł, w razie uszkodzenia $600$ zł. Z danych firmy wynika, że w ciągu roku rower zostaje skradziony z prawdopodobieństwem $0{,}02$ , a uszkodzony (bez kradzieży) z prawdopodobieństwem $0{,}05$ . Przyjmij, że w roku zdarza się co najwyżej jedno z tych zdarzeń.

a) Oblicz oczekiwaną wypłatę firmy z jednej polisy.

b) Składka wynosi $120$ zł. Oblicz oczekiwany zysk firmy z jednej polisy.

c) Jaka powinna być składka, żeby przewyższała oczekiwaną wypłatę o $25\%$ ?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Rozkład wypłaty. Brak szkody ma prawdopodobieństwo $1 - 0{,}02 - 0{,}05 = 0{,}93$ .

wypłata W (zł)	2400	600	0
pᵢ	0,02	0,05	0,93

Krok 2. Oczekiwana wypłata (a).

$E(W) = 2400 \cdot 0{,}02 + 600 \cdot 0{,}05 + 0 \cdot 0{,}93 = 48 + 30 = 78 \text{ zł}.$

Interpretacja: na każde $100$ takich polis firma wypłaca średnio $2 \cdot 2400 + 5 \cdot 600 = 7800$ zł, czyli $78$ zł na polisę.

Krok 3. Oczekiwany zysk (b). Zysk z polisy to $Z = 120 - W$ , a wartość oczekiwana zachowuje się liniowo:

$E(Z) = 120 - E(W) = 120 - 78 = 42 \text{ zł}.$

Krok 4. Składka z narzutem (c).

$78 \cdot 1{,}25 = 97{,}5 \text{ zł}.$

Komentarz. Klient płaci więcej, niż wynosi jego „średnia szkoda” - w zamian pozbywa się ryzyka dużej straty ( $2400$ zł). Ubezpieczyciel zarabia na średniej, bo ma tysiące polis i działa prawo wielkich liczb.

Odpowiedź. a) $78$ zł. b) $42$ zł. c) $97{,}50$ zł.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →