Loteria fantowa: czy opłaca się kupić los? Wartość oczekiwana wygranej

Szkoła średnia średnie

Na festynie sprzedano wszystkie $200$ losów loterii fantowej, każdy po $5$ zł. Wśród losów jest: $1$ wygrana $300$ zł, $4$ wygrane po $100$ zł, $20$ wygranych po $10$ zł, a pozostałe losy są puste. Kupujemy jeden los. Niech $X$ oznacza wygraną netto (nagroda minus cena losu).

a) Wyznacz rozkład $X$ i oblicz $E(X)$ .

b) Ile zarabia organizator na całej loterii i jak to się ma do $E(X)$ ?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Ile jest losów każdego rodzaju. Pustych losów jest $200 - 1 - 4 - 20 = 175$ . Każdy los jest wylosowany z prawdopodobieństwem $\tfrac{1}{200}$ .

Krok 2. Rozkład wygranej netto.

nagroda	300 zł	100 zł	10 zł	0 zł
xᵢ = nagroda − 5 zł	295	95	5	−5
liczba losów	1	4	20	175
pᵢ	1/200	4/200 = 1/50	20/200 = 1/10	175/200 = 7/8

Krok 3. Wartość oczekiwana. Najwygodniej liczyć na wspólnym mianowniku $200$ :

$E(X) = \frac{295 \cdot 1 + 95 \cdot 4 + 5 \cdot 20 + (-5) \cdot 175}{200} = \frac{295 + 380 + 100 - 875}{200} = \frac{-100}{200} = -\frac{1}{2}.$

Kupujący los traci średnio $0{,}50$ zł. Szybsza droga: średnia nagroda to $\tfrac{300 + 400 + 200}{200} = 4{,}50$ zł, a los kosztuje $5$ zł.

Krok 4. Zysk organizatora (b). Ze sprzedaży: $200 \cdot 5 = 1000$ zł, na nagrody: $300 + 4 \cdot 100 + 20 \cdot 10 = 900$ zł. Zysk: $100$ zł - dokładnie $200 \cdot \tfrac{1}{2}$ zł, czyli tyle, ile średnio traci każdy z $200$ kupujących.

Odpowiedź. a) $E(X) = -\dfrac{1}{2}$ zł - kupno losu jest „w średniej” nieopłacalne. b) Organizator zarabia $100$ zł, co równa się $200 \cdot |E(X)|$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →