Permutacje - dwie osoby nie mogą siedzieć obok siebie

Krok 1. Liczymy przez dopełnienie. Bezpośrednie liczenie ustawień „nie obok siebie” wymaga wielu przypadków. Prościej policzyć wszystkie ustawienia i odjąć te, w których Ania i Bartek siedzą obok siebie.

Krok 2. Wszystkie ustawienia. Siedem osób ustawiamy w rzędzie na

$7! = 5040$

sposobów.

Krok 3. Ustawienia „obok siebie”. Sklejamy Anię i Bartka w blok: $6$ obiektów ustawiamy na $6!$ sposobów, a w bloku są $2$ kolejności (tak jak w poprzednim zadaniu):

$2 \cdot 6! = 1440.$

Krok 4. Odejmujemy.

$5040 - 1440 = 3600.$

Sprawdzenie innym sposobem. Parę miejsc dla Ani i Bartka (zapisaną w kolejności: miejsce Ani, miejsce Bartka) wybieramy na $7 \cdot 6 = 42$ sposoby, z czego $2 \cdot 6 = 12$ to sąsiednie krzesła. Zostaje $30$ par niesąsiednich, a pozostałe $5$ osób siada na $5! = 120$ sposobów: $30 \cdot 120 = 3600$.

Odpowiedź. Jest $3600$ takich ustawień.