Parametry a i b, dla których y = 2x + 3 jest asymptotą ukośną funkcji wymiernej

Krok 1. Warunek na asymptotę. Prosta $y = 2x + 3$ jest asymptotą ukośną (w $+\infty$), gdy

$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 2 \qquad \text{oraz} \qquad \lim_{x \to +\infty} \big( f(x) - 2x \big) = 3.$

Krok 2. Pierwszy warunek daje $a$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{ax^2 + bx + 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{a + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} = a.$

Musi być $a = 2$. (Dla $a = 0$ licznik ma stopień co najwyżej $1$ i asymptota byłaby pozioma, a nie ukośna - to też wyklucza ten przypadek.)

Krok 3. Drugi warunek daje $b$. Dla $a = 2$:

$f(x) - 2x = \frac{2x^2 + bx + 1 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \frac{(b + 2)x + 1}{x - 1},$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{(b + 2)x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(b + 2) + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = b + 2.$

Warunek $b + 2 = 3$ daje $b = 1$. Obie granice są takie same przy $x \to -\infty$, więc prosta jest asymptotą w obu nieskończonościach.

Krok 4. Sprawdzenie dzieleniem. Dla $a = 2$, $b = 1$:

$2x^2 + x + 1 = (x - 1)(2x + 3) + 4, \qquad f(x) = 2x + 3 + \frac{4}{x - 1}.$

Ułamek $\frac{4}{x - 1}$ dąży do zera, więc rzeczywiście $y = 2x + 3$ jest asymptotą ukośną.

Krok 5. Asymptota pionowa. Licznik w $x = 1$ wynosi $2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$, więc $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty$.

Odpowiedź. $a = 2$, $b = 1$. Wtedy $f(x) = \dfrac{2x^2 + x + 1}{x - 1}$ ma asymptotę ukośną $y = 2x + 3$ i asymptotę pionową $x = 1$.

Uwaga: gdyby licznik zerował się w $x = 1$ (czyli $a + b + 1 = 0$), zamiast asymptoty pionowej byłaby dziura. Dla $a = 2$, $b = 1$ to nie zachodzi.