Dziura czy asymptota? Funkcja (x² − 5x + 6)/(x² − 9)

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 3\}$. Kandydaci na asymptoty pionowe to $x = -3$ i $x = 3$.

Krok 2. Rozkład licznika. Trójmian $x^2 - 5x + 6$ ma pierwiastki $2$ i $3$, więc dla $x \in D_f$:

$f(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 2}{x + 3}.$

Skracanie jest dozwolone, bo w dziedzinie $x \neq 3$.

Krok 3. Punkt $x = 3$. Po skróceniu mianownik w $x = 3$ już się nie zeruje:

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{1}{6}.$

Granica jest skończona, więc w $x = 3$ nie ma asymptoty. Wykres ma tam dziurę - pusty punkt $(3,\ \tfrac{1}{6})$.

Krok 4. Punkt $x = -3$. Licznik $x - 2$ dąży do $-5$, a mianownik $x + 3$ do zera:

$\lim_{x \to -3^+} \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{-5}{0^+} = -\infty, \qquad \lim_{x \to -3^-} \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{-5}{0^-} = +\infty.$

Prosta $x = -3$ jest asymptotą pionową obustronną.

Krok 5. Asymptota pozioma. Stopnie licznika i mianownika są równe ($2$), więc granica w nieskończoności to iloraz współczynników przy $x^2$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 - \frac{9}{x^2}} = 1.$

Odpowiedź. Asymptota pionowa: tylko $x = -3$. Prosta $x = 3$ nie jest asymptotą - w tym punkcie granica wynosi $\tfrac{1}{6}$ i wykres ma tylko dziurę. Asymptota pozioma: $y = 1$ (w obu nieskończonościach).

Pułapka: odpowiedź „asymptoty pionowe $x = \pm 3$” bierze się z odczytania samych miejsc zerowych mianownika bez liczenia granic.