Dwie różne asymptoty poziome - funkcja (4x − 1)/√(x² + 3)

Krok 1. Dziedzina i asymptoty pionowe. $x^2 + 3 > 0$ dla każdego $x$, więc $D_f = \mathbb{R}$, a mianownik jest zawsze nie mniejszy niż $\sqrt{3}$. Funkcja jest ciągła na $\mathbb{R}$ - asymptot pionowych nie ma.

Krok 2. Przekształcenie pierwiastka. Dla $x \neq 0$:

$\sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} = |x| \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}.$

Wartość bezwzględna jest tu kluczowa: $\sqrt{x^2} = |x|$, a nie $x$.

Krok 3. Granica w $+\infty$. Dla $x > 0$ jest $|x| = x$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x - 1}{x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{4}{1} = 4.$

Krok 4. Granica w $-\infty$. Dla $x < 0$ jest $|x| = -x$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x - 1}{-x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4 - \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{4}{-1} = -4.$

Krok 5. Asymptoty ukośne. W obu nieskończonościach granica jest skończona, więc są tam asymptoty poziome (czyli ukośne z $a = 0$) - innych ukośnych być nie może.

Odpowiedź. Asymptota pozioma $y = 4$ w $+\infty$ i asymptota pozioma $y = -4$ w $-\infty$; asymptot pionowych brak.

Pułapka: kto skróci $\sqrt{x^2}$ do $x$ bez wartości bezwzględnej, dostanie w obu nieskończonościach $4$ i zgubi asymptotę $y = -4$. Łatwo to wyłapać zdrowym rozsądkiem: dla dużych ujemnych $x$ licznik jest ujemny, a mianownik dodatni, więc granica nie może być dodatnia.