Asymptota ukośna ze wzorów na a i b - wykres (x³ + 2x²)/(x² + 1) przecina asymptotę

Krok 1. Asymptoty pionowe. Mianownik $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, więc $D_f = \mathbb{R}$, a $f$ jako iloraz wielomianów z niezerowym mianownikiem jest ciągła w każdym punkcie. W każdym punkcie granica jest skończona (równa wartości), więc asymptot pionowych nie ma.

Krok 2. Współczynnik $a$.

$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 + x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1.$

Krok 3. Wyraz $b$. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$f(x) - x = \frac{x^3 + 2x^2 - x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1},$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2.$

Asymptotą ukośną (w obu nieskończonościach) jest prosta $y = x + 2$.

Krok 4. Punkt wspólny. Rozwiązujemy $f(x) = x + 2$, czyli $f(x) - (x + 2) = 0$:

$f(x) - x - 2 = \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1} - 2 = \frac{2x^2 - x - 2x^2 - 2}{x^2 + 1} = \frac{-(x + 2)}{x^2 + 1}.$

Ułamek zeruje się tylko dla $x = -2$, a wtedy $y = -2 + 2 = 0$. Sprawdzenie: $f(-2) = \frac{-8 + 8}{5} = 0$.

Odpowiedź. a) $D_f = \mathbb{R}$ i $f$ jest ciągła, więc asymptot pionowych brak. b) $y = x + 2$. c) Wykres przecina asymptotę w punkcie $(-2,\ 0)$; dla $x > -2$ leży pod nią, dla $x < -2$ nad nią (znak ułamka $\frac{-(x + 2)}{x^2 + 1}$).

To zadanie pokazuje, że wykres może mieć wspólny punkt z asymptotą ukośną - asymptota opisuje tylko zachowanie funkcji dla dużych $|x|$.