Asymptota ukośna z dzielenia wielomianów - funkcja (2x² + 3x − 1)/(x + 2)

Krok 1. Dziedzina i asymptota pionowa. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Licznik w $x = -2$ wynosi $8 - 6 - 1 = 1 \neq 0$, więc

$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty.$

Prosta $x = -2$ jest asymptotą pionową obustronną.

Krok 2. Dzielenie licznika przez mianownik. Licznik ma stopień o $1$ wyższy niż mianownik, więc spodziewamy się asymptoty ukośnej. Dzielimy:

$2x^2 + 3x - 1 = (x + 2)(2x - 1) + 1.$

Sprawdzenie: $(x + 2)(2x - 1) = 2x^2 + 3x - 2$, a po dodaniu $1$ wychodzi licznik. Zatem

$f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x + 2}.$

Krok 3. Asymptota ukośna. Przy $x \to \pm\infty$ ułamek $\frac{1}{x + 2}$ dąży do zera, czyli $f(x) - (2x - 1) \to 0$. Prosta $y = 2x - 1$ jest asymptotą ukośną w obu nieskończonościach.

Krok 4. Sprawdzenie wzorami.

$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 2x} = 2, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2} - 2x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x - 1}{x + 2} = -1.$

Krok 5. Położenie wykresu. Różnica $f(x) - (2x - 1) = \frac{1}{x + 2}$ jest dodatnia dla $x > -2$ i ujemna dla $x < -2$. Na prawo od asymptoty pionowej wykres leży nad prostą $y = 2x - 1$, na lewo - pod nią. Wykres nigdy tej prostej nie przecina, bo ułamek $\frac{1}{x + 2}$ nie przyjmuje wartości $0$.

Odpowiedź. Asymptota pionowa $x = -2$, asymptota ukośna $y = 2x - 1$ (w $-\infty$ i w $+\infty$); asymptoty poziomej nie ma. Dla $x > -2$ wykres leży nad asymptotą ukośną, dla $x < -2$ pod nią.