Dwie asymptoty ukośne funkcji √(4x² + x) - wyrażenie sprzężone w ±∞

Krok 1. Dziedzina. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne: $4x^2 + x = x(4x + 1) \geq 0$. Pierwiastki to $-\tfrac{1}{4}$ i $0$, ramiona paraboli w górę, więc

$D_f = \left(-\infty;\ -\tfrac{1}{4}\right\rangle \cup \langle 0;\ +\infty).$

Krok 2. Asymptoty pionowe. Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie, a na końcach przedziałów przyjmuje skończone wartości $f(-\tfrac{1}{4}) = f(0) = 0$. Nigdzie nie ucieka do nieskończoności - asymptot pionowych nie ma.

Krok 3. $x \to +\infty$, współczynnik $a$. Dla $x > 0$ mamy $\sqrt{4x^2 + x} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x}}$:

$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}{x} = \sqrt{4} = 2.$

Krok 4. $x \to +\infty$, wyraz $b$. Symbol $\infty - \infty$ - mnożymy przez sprzężenie:

$b = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + x} - 2x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + x - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x \sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{4}.$

W $+\infty$ asymptotą jest $y = 2x + \tfrac{1}{4}$.

Krok 5. $x \to -\infty$, współczynnik $a$. Dla $x < 0$ jest $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, więc $\sqrt{4x^2 + x} = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x}}$ i

$a = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}{x} = -2.$

Krok 6. $x \to -\infty$, wyraz $b$. Teraz liczymy $f(x) - ax = \sqrt{4x^2 + x} + 2x$:

$b = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{4x^2 + x} + 2x \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x^2 + x - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} - 2x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x \sqrt{4 + \frac{1}{x}} - 2x}.$

Dzielimy licznik i mianownik przez $-x$ (liczba dodatnia): licznik daje $-1$, mianownik $\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2 \to 4$. Zatem $b = -\tfrac{1}{4}$ i w $-\infty$ asymptotą jest $y = -2x - \tfrac{1}{4}$.

Odpowiedź. $D_f = \left(-\infty;\ -\tfrac{1}{4}\right\rangle \cup \langle 0;\ +\infty)$. Asymptoty pionowe: brak. Asymptota ukośna w $+\infty$: $y = 2x + \tfrac{1}{4}$, w $-\infty$: $y = -2x - \tfrac{1}{4}$.

Skąd ta symetria? $4x^2 + x = \left(2x + \tfrac{1}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16}$, więc dla dużych $|x|$ funkcja jest bardzo bliska $\left|2x + \tfrac{1}{4}\right|$ - a to są właśnie obie asymptoty.