Asymptoty pionowe funkcji (4x + 1)/(x² − 2x − 3) - znaki granic jednostronnych

Krok 1. Dziedzina. Mianownik ma wyróżnik $\Delta = 4 + 12 = 16$ i pierwiastki $x = -1$ oraz $x = 3$:

$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3), \qquad D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 3\}.$

Krok 2. Czy coś się skraca? Licznik zeruje się tylko dla $x = -\tfrac{1}{4}$, więc w $x = -1$ i w $x = 3$ licznik jest różny od zera: $4 \cdot 3 + 1 = 13$ oraz $4 \cdot (-1) + 1 = -3$. Nic się nie skraca, w obu punktach granice będą nieskończone - trzeba ustalić znaki.

Krok 3. Znak mianownika. Parabola $y = (x + 1)(x - 3)$ ma ramiona skierowane w górę, więc mianownik jest ujemny między pierwiastkami i dodatni poza nimi:

Na przykład $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \frac{-3}{0^-} = +\infty$: liczba ujemna podzielona przez małą liczbę ujemną daje dużą liczbę dodatnią.

Krok 4. Asymptoty pionowe. W obu punktach obie granice jednostronne są nieskończone, więc $x = -1$ i $x = 3$ są asymptotami pionowymi obustronnymi.

Krok 5. Asymptota pozioma. Stopień licznika ($1$) jest mniejszy od stopnia mianownika ($2$). Dzielimy przez $x^2$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x + 1}{x^2 - 2x - 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0.$

Odpowiedź. Asymptoty pionowe: $x = -1$ ($\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$) i $x = 3$ ($\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$). Asymptota pozioma: $y = 0$ w $-\infty$ i w $+\infty$. Asymptoty ukośnej nie ma, bo w obu nieskończonościach jest już pozioma.