Ile razy rzucić kostką, żeby z szansą ponad 90% wypadła szóstka?

Krok 1. Prawdopodobieństwo dla $n$ rzutów. Przez zdarzenie przeciwne („ani jednej szóstki”, czyli zero sukcesów w schemacie Bernoulliego z $p = \tfrac{1}{6}$):

$P(S_n \ge 1) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n.$

Krok 2. Nierówność.

$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n > 0{,}9 \iff \left(\frac{5}{6}\right)^n < 0{,}1.$

Krok 3. Rozwiązanie logarytmem. Logarytmujemy obie strony. Uwaga: $\log \tfrac{5}{6} < 0$, więc przy dzieleniu przez tę liczbę zmieniamy zwrot nierówności:

$n \cdot \log \frac{5}{6} < \log 0{,}1 \iff n > \frac{\log 0{,}1}{\log \frac{5}{6}} \approx \frac{-1}{-0{,}0792} \approx 12{,}63.$

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca tę nierówność to $n = 13$.

Krok 4. Sprawdzenie bez logarytmów. Policzmy dwie sąsiednie potęgi:

$\left(\frac{5}{6}\right)^{12} \approx 0{,}1122 > 0{,}1, \qquad \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0{,}0935 < 0{,}1.$

Przy $12$ rzutach szansa na szóstkę wynosi ok. $0{,}888$ - za mało; przy $13$ rzutach ok. $0{,}907$ - wystarczy.

Pułapka. Rozumowanie „szóstka wypada średnio raz na $6$ rzutów, więc po $6$ rzutach jest pewna” jest błędne: $1 - \left(\tfrac{5}{6}\right)^6 \approx 0{,}665$. Druga pułapka to niezmieniony zwrot nierówności w kroku 3 - dałby absurdalne $n < 12{,}63$.

Odpowiedź. Trzeba rzucić co najmniej $13$ razy.